如何理解系统的可观测性

系统的可观测性的定义为：

对于系统 在有限的时间区间里 内，对应初态 ，有

则称为不可观测状态，如果不存在这样的不可观测状态，那么系统完全可观测。

这个定义说的非常的抽象，但是可观测性这个概念最重要的是其在 状态观测器(state observer)的设计中发挥了关键作用，下面我就从这个角度进行一些对于状态可观性的介绍。

其实，状态可观性的概念是出自于卡尔曼，而著名的Kalman filter也实质上是state estimator for stochastic system[1]。

对于系统进行控制，首先我们需要确定要进行的控制的类型，一般而言，控制分为基于状态变量的控制和基于输出的控制，这其中最好的当然是状态控制，但是我们往往只有输出和输入，而难以直接得到系统的状态变量，这个时候就需要从前面所说的输出和输入还原出系统的状态变量，这就是所谓的状态观测[2]。

状态反馈和输出反馈

典型状态观测器结构

一言以蔽之，系统状态的可观测性是进行状态观测器设计的前提，也就是说，无论是用什么方法，只有当系统完全可观时，才有可能从状态观测器的设计得出系统的状态的观测。

以Full-Order Observers为例[3]，其结构如下:

对于观测系统有：

跟踪误差为：

即： 和原始系统做差有：

跟踪误差可以求得：

写成矩阵形式：

我们希望跟踪误差趋近于0并且其衰减速度可以调控，显然这取决于矩阵 的特征根，这就是所谓的极点配置的问题：

• 选择一个合适的 ，使得
• 如果 就可以保证所有的初始值都可以按快于 的速度收敛

而根据对偶原理，对于矩阵 的极点配置的问题相当于利用状态反馈 对于系统 的极点配置问题，而这等价于系统 可控，那么即等价于系统 可观。这里就解释了可观和可控的对偶的用处以及系统可观性的实际含义。

参考

1. ^段广仁. 线性系统理论. 哈尔滨工业大学出版社, 1996 https://item.jd.com/30834945675.html
2. ^吴麒主编. 自动控制原理 (第2版, 下册). 清华大学出版社, 2006. http://www.tup.tsinghua.edu.cn/booksCenter/book_02284603.html
3. ^Discrete Control System, Katsuhiko Ogata https://www.goodreads.com/book/show/241242.Discrete_Time_Control_Systems